Metode Kuantitatif Untuk Mengambil Keputusan

BAB I

PENDAHULUAN

1.1     Latar Belakang

Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal dari programisasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan. Analisis sensitivitas digunakan untuk melakukan interpretasi penyelesaian yang telah dicapai sehingga menjadi lebih mudah dipahami.

Dualitas sendiri mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relatif masing-masing kegiatan. Kemampuan untuk dan menginterprestasikan kasus dual memberikan pemahaman yang mendalam terhadap kasus, sehingga dapat menjadi alat yang membantu untuk analisis dan komunikasi. Dualitas mempunyai dua macam, yaitu: primal dan dual. Kalau primal berkaitan dengan memaksimumkan kontribusi dari kombinasi produk yang dihasilkan, maka dual berkaitan dengan evaluasi waktu yang digunakan dalam unit-unit produksi untuk menghasilkan produk-produk dimaksud.

1.2     Rumusan Masalah

1.    Apa yang dimaksud analisis Sensitivitas?

2.    Bagaimana bentuk analisis Sensitivitas secara grafik?

3.    Bagaimana penggunaan tabel simpleks optimal untuk analisis sensitivitas?

4.    Bagaimana konsep dualitas atau bentuk kembar dan interpretasi dan arti ekonomisnya?

 

1.3     Tujuan Penulisan

1.    Menjelaskan apa yang dimaksud analisis sensitivitas.

2.    Menunjukkan bagaimana bentuk analisis Sensitivitas secara grafik

3.    Memahami penggunaan tabel simpleks optimal untuk analisis sensitivitas

4.    Memperkenalkan konsep dualitas atau bentuk kembar dan interpretasi dan arti ekonomisnya

BAB II

PEMBAHASAN

2.1     Analisis Sensitivitas

Analisis sensitivitas adalah studi tentang bagaimana perubahan penyelesaian optimal dan nilai penyelesaian optimal dari programisasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan. Secara lebih khusus, analisis ini melihat  tentang efek yang terjadi pada penyelesaian optimal bila terdapat perubahan pada koefisien fungsi tujuan dan nilai ruas kanan fungsi kendala. Oleh karena itu, analisis sensitivitas sering disebut juga analisis pasca optimalitas (post optimality analysis) karena analisis ini hanya bisa dilakukan setelah penyelesaian optimal kasus programisasi linear tercapai.

Analisis sensitivitas digunakan untuk melakukan interpretasi penyelesaian yang telah dicapai sehingga menjadi lebih mudah dipahami. Dengan kata lain, analisis sensitivitas membuat penyelesaian programasi linear yang bersifat statis menjadi alat dinamis yang mampu mengevaluasi perubahan situasi. Alasan utama pentingnya dilakukan analisis ini adalah dinamisasi dunia nyata. Artinya, kasus-kasus dalam dunia nyata yang dipecahkan dengan programisasi linear selalu mengalami perubahan. Misal, adanya perubahan harga bahan mentah yang digunakan oleh perusahaan, kenaikan upah, penggantian mesin, dan sebagainya akan merubah koefisien fungsi tujuan. Hal ini tentu saja akan berpengaruh terhadap penyelesaian yang diperoleh. Dengan analisis sensitivitas dimungkinkan memperoleh informasi untuk merencanakan perubahan-perubahan seperti ini tanpa harus mengulang seluruh proses programasi linear secara lengkap.

Sebagai contoh, kita  lihat kembali kasus perusahaan UD. Shuma yang mempunyai penyelesaian optimal 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak dengan keuntungan per unit dari masing-masing jenis sepatu sebesar Rp. 4.000,00 dan Rp. 1000,00. Sekarang dimisalkan terjadi penurunan harga sepatu wanita menjadi Rp. 2.000,00. Apakah jumlah produk tersebut masih merupakan penyelesaian optimal bagi perusahaan? Jawaban atas pertanyaan ini dapat dicari dengan analisis sensitivitas. Bila jawabannya ya, maka tidak perlu lagi memecahkan programisasi linear yang telah mengalami perubahan tersebut.

Analisis sensitivitas dapat memberikan estimasi kritis terhadap formulasi koefisien dalam model. Hasil analisis dapat memberi informasi kepada manajer apakah perkiraaan keuntungan atau harga per unit produk merupakan perkiraan yang baik atau tidak berdasarkan range optimalitas koefisien fungsi tujuan. Range optimalitas adalah range nilai keuntungan atau harga per unit yang mungkin bagi perusahaan tanpa perusahaan harus merubah penyelesaian optimal jumlah produksi.

Aspek lain dari analisis sensitivitas adalah yang berkaitan dengan perubahan nilai pada sisi kanan fungsi kendala. Perubahan yang demikian dapat terjadi bila terdapat perubahan kapasitas produksi atau perubahan waktu operasi pada tiap-tiap unit produksi. Pada kasus UD. Shuma kita tahu bahwa penyelesaian optimal menggunakan semua waktu pada unit pengukuran dan pemotongan pola serta unit pengeleman dan pengeringan. Apa yang terjadi pada penyelesaian optimal maupun keuntungan bila perusahaan menambah waktu operasi? Analisis sensitivitas dapat membantu menentukan beberapa tambahan waktu yang masih dapat memberi hasil terbaik bagi perusahaan.

2.2     Analisis Sensitivitas Secara Grafik

Pada kasus sederhana, metode grafik dapat digunakan untuk menunjukkan analisis sensitivitas pada koefisien fungsi tujuan, koefisien variabel kendala, dan nilai sisi kanan fungsi kendala. Kita akan bahas kasus UD. Shuma untuk ketiga macam perubahan tersebut.

Koefisien Fungsi Tujuan

Mula-mula akan kita lihat berapa range optimalitas bagi kasus UD. Shuma tanpa harus mengubah jumlah produksi 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak. Dari Gambar 4.1 yang memperlihatkan penyelesaian dengan metode grafik dari kasus UD. Shuma, bahwa penyelesaian optimal terjadi pada titik ekstrem 4, yaitu pada titik potong antara kendala pengukuran dan pemotongan pola dengan kendala pengeleman dan pengeringan. Perubahan koefisien X₁ dan X₂ pada fungsi-fungsi tujuan akan menyebabkan perubahan slope fungsi tujuan. Dari gambar kita bisa  mengetahui bahwa perubahan yang demikian menyebabkan garis fungsi tujuan berputar di sekitar titik ekstrem 4 tersebut. Namun selama garis fungsi tujuan masih berada di dalam daerah yang diarsir (daerah layak), titik ekstrem 4 akan tetap optimal.

Gambar 4.1.

Penyelesaian dengan Metode Grafik Kasus Perusahaan UD. Shuma

              X₂

                                   

               70                             Garis 1

               60                        Garis fungsi tujuan

               50

               40

               30

                20                                          Garis II

                10                                           Garis III

                  0         10        20       30        40       50        60        70

Penurunan slope garis fungsi tujuan mengakibatkan garis fungsi tujuan berputar ke arah yang berlawanan dengan perputaran jarum jam hingga suatu saat akan berimpit dengan garis kendala pengeleman dan pengeringan (garis II). Di sini kita menemukan alternate optima (penyelesaian di antara titik ekstrem 3 dan 4). Perputaran lebih jauh dari garis fungsi tujuan akan menyebabkan titik ekstrem 4 menjadi tidak optimal lagi (sudah keluar dari daerah layak). Dengan demikian, garis kendala pengeleman dan pengeringan merupakan batas terendah bagi slope garis fungsi tujuan.

Sebaliknya perputaran garis fungsi tujuan searah jarum jam (menunjukkan kenaikan slope) suatu saat akan menyebabkan garis fungsi tujuan sama dengan (berimpit) garis kendala pengukuran dan pemotongan pola (garis I).  Di sini kita menemukan alternate optima antara titik ekstrem 4 dan 5. Perputaran lebih jauh menyebabkan titik ekstrem 4 menjadi tidak optimal lagi. Dengan demikian, garis kendala pengukuran dan pemotongan pola merupakan batas tertinggi bagi slope garis fungsi tujuan. Dari pembahasan tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa titik ekstrem 4 akan merupakan titik penyelesaian optimal bila slope garis kendala 1 ≤ slope garis fungsi tujuan ≤ slope garis kendala II.

Dari persamaan  garis kendala I 10 X₁ + 2X₂ = 300 kita bisa mengetahui slope dan intersep garis tersebut dengan menuliskan persamaan tersebut menjadi X₂ = 150 – 5X₁ di mana 150 menunjukkan besarnya intersep dan -5 menunjukkan slope.  Sedang persamaan garis kendala II 3X₁ + 2X₂ = 120 dapat dituliskan menjadi X₂ = 60-3/2X₁. Intersep garis kendala sebesar 60 dan koefisien sebesar -3/2. Dengan demikian, kita bisa mengetahui bahwa supaya titik ekstrem 4 tetap merupakan penyelesaian optimal  harus memenuhi.

-5 £ slope garis fungsi tujuan £ -3/2

Kalau dimisalkan keuntungan per unit sepatu wanita dan sepatu anak adalah sebesar c₁ dan c₂, serta nilai fungsi tujuan sebagai Z, maka bentuk umum fungsi tujuan bisa kita tuliskan sebagai :

Fungsi Tujuan :  Z = c₁ X₁ + c₂X₂ atau X₂ = Z/c₂ – c₁/c₂X₁

Jadi slope fungsi tujuan adalah –c₁/c₂. secara lebih jelas kita bisa menentukan bahwa titik ekstrem 4 akan merupakan penyelesaian optimal bila memenuhi :

 -5 £  -c₁/c₂   £ -3/2.

Berdasarkan syarat tersebut, sekarang kita bisa menentukan range optimalitas untuk koefisien keuntungan. Kita tentukan dulu range optimalitas untuk c₁ (keuntungan  per unit sepatu wanita). Dengan menggunakan perkiraan keuntungan semula sebesar Rp. 1000,00 untuk tiap unit sepatu anak (c₂ = 1000), kita mendapatkan :

-5 £ -c₁/1000  £ -3/2

Dari ruas kanan :

c₁/1000  £ -3/2

                                atau

c₁/1000  ³ 3/2

          sehingga c₁ ³ 3000 / 2 atau c₁ ³ 1500

Dari ruas kiri :

-5 £ -c₁/1000

                                atau

5 ³ -c₁/1000

            sehingga 5000 ³ c₁ atau c₁ £ 5000

Dari sini kita bisa menetapkan range bagi c₁ = 1500 £ c₁ £ 5000

Hasil ini menunjukkan kepada manajer UD. Shuma bahwa bila koefisien variabel keputusan lain tidak berubah (keuntungan per unit sepatu anak tetap Rp.1.000,00), maka produksi sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak masih tetap optimal bila keuntungan per unit sepatu wanita berkisar antara Rp.1500,00 dan Rp. 5000,00. Dengan jumlah produksi yang tetap, maka nilai fungsi tujuan Z akan berubah sesuai dengan perubahan keuntungan per unit sepatu wanita.

Menggunakan cara yang sama, kita bisa menentukan range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c₂) dengan mengubah persamaan garis kendala I dan II serta persamaan tujuan sebagai X₁ = f (X₂).

Garis kendala I (pengukuran dan pemotongan pola) :

10 X₁ + 2X₂ = 300 atau X₁ = 30 – 2/ 10 X₂

Garis kendala II (pengeleman dan pengeringan) :

3X₁ + 2X₂ = 120 atau X₁ = 40 – 2/3 X₂

Persamaan umum garis fungsi tujuan :

Z = c₁X₁ + c₂X₂ atau X₁ = Z/c₁ – c₂/c₁ X₂

Sehingga titik ekstrem 4 akan tetap optimal bila :

-2/10 ³ -c₂/c₁  ³ -2/3

-2/10 ³ -c₂/c₁  dan –c₂/c₁ ³ -2/3

atau  

2/10 £ c₂/c₁  dan c₂/c₁ £ 2/3

untuk   c₁ = 4000, maka

2/10 £ c₂/4000  dan c₂/4000 £ 2/3

8000/10 £ c₂ dan c₂ £ 8000 / 3

800 £ c₂ dan c₂ £ 2666,67

atau

800 £ c₂ £ 2666,67

Dengan range optimalitas tersebut, perkiraan keuntungan sepatu anak sebesar  Rp. 1000,00 merupakan perkiraan yang baik karena berada di antara range tersebut.

Sisi Kanan Fungsi Kendala

Sekarang kita lihat bagaimana perubahan nilai sisi kanan fungsi kendala berpengaruh terhadap penyelesaian optimal. Misalkan, waktu operasi unit produksi pengeleman dan pengeringan dalam perusahaan UD. Shuma ditambah dari 120 menit menjadi 150 menit, maka sisi kanan kendala pengeleman dan pengeringan akan  berubah. Fungsi kendala pengeleman dan pengeringan menjadi 3X₁ + 2X₂ £ 150.

Tambahan waktu 30 menit akan menyebabkan daerah layak menjadi bertambah luas, seperti ditunjukkan pada Gambar 4.2. Dengan keadaan baru tersebut, kini kita hanya mempunyai 4 titik ekstrem yaitu (0,0), (0,50), (25,25), dan (30,0)

Gambar 4.2.

Daerah Layak Kasus Perusahaan UD. Shuma

dengan Kendala Pengeleman dan Pengeringan yang Baru

              X₂

                                   

               70                            

               60                       

               50            (0,50)

               40

               30                                  (25,25)

                20                                         

                10                                                       (30,0)                          

                  0         10        20       30        40       50        60        70

Dengan mensubtitusikan  masing-masing titik ekstrem tersebut ke dalam fungsi tujuan kita bisa menemukan titik penyelesaian optimal.

Titik ekstrem 1 : (0,0)

Z = 4000 X₁ + 1000X₂ = 4000 (0) + 1000 (0) = Rp. 0

Titik ekstrem 2 : (0,50)

Z = 4000 X₁ + 1000X₂ = 4000 (0) + 1000 (50) = Rp. 50.000

Titik ekstrem 3 : (25,25)

Z = 4000 X₁ + 1000X₂ = 4000 (25) + 1000 (0) = Rp. 125.000

Titik ekstrem 4 : (30,0)

Z = 4000 X₁ + 1000X₂ = 4000 (30) + 1000 (0) = Rp. 120.000

Dengan demikian, titik penyelesaian optimal adalah titik ekstrem 3 yang memberi nilai fungsi tujuan sebesar Rp. 125.000. Keuntungan meningkat sebesar Rp.125.000 – Rp. 124.300 = Rp. 700. Jadi kenaikan keuntungan ini terjadi pada tingkat sebesar Rp. 700 per 30 menit atau Rp. 23,3 per unit tambahan waktu.

Perubahan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan dari kenaikan satu unit nilai sisi kanan fungsi kendala disebut harga bayangan (shadow price). Jadi harga bayangan untuk waktu pengeleman dan pengeringan adalah Rp. 23,3 per menit, artinya guna mendapatkan tambahan waktu untu pengeleman dan pengeringan, pihak manajemen perusahaan harus mau membayar sebesar Rp. 23,3 per menit.

Semakin banyak tambahan waktu yang bisa dilakukan menyebabkan nilai sisi kanan fungsi kendala semakin meningkat. Dalam keadaan demikian kendala lain menjadi mengikat dan membatasi perubahan nillai fungsi tujuan. Dari contoh di atas, dengan peningkatan waktu pengeleman dan pengeringan sebesar 30 menit, penyelesaian ditemukan pada perpotongan garis kendala pengukuran dan pemotongan pola dengan garis kendala pengeslepan. Artinya, pada titik ini tambahan waktu pada pengeleman dan pengeringan tidak akan berpengaruh terhadap nilai fungsi tujuan. Oleh karena itu, nilai harga bayangan hanya dapat digunakan pada perubahan yang kecil dari nilai sisi kanan fungsi kendala.

2.3     Analisis Sensitivitas Dengan Tabel Simpleks

Pada bagian ini akan lihat bahwa informasi yang terdapat pada tabel simpleks akhir dapat kita gunakan untuk menghitung range koefisien fungsi, tujuan, harga bayangan, dan range nilai sisi kanan fungsi kendala.

Koefisien Fungsi Tujuan

Dari pembahasan di atas kita mengetahui bahwa bila koefisien fungsi tujuan terletak dalam suatu range tertentu, maka penyelesaian optimal tidak berubah. Range di mana nilai fungsi tujuan terletak disebut range optimalitas koefisien fungsi tujuan. Sekarang kita akan melihat bagaimana hal ini ditentukan dengan menggunakan kasus UD. Shuma.

Tabel simpleks akhir kasus perusahaan UD. Shuma adalah seperti terlihat di bawah ini.

Tabel simpleks ini menunjukkan bahwa penyelesaian sudah optimal karena semua nilai pada baris C_j - Z_j lebih kecil sama dengan nol. Adanya perubahan pada salah satu koefisien fungsi tujuan akan menyebabkan nilai C_j – Z_j untuk variabel non-dasar menjadi positif, sehingga penyelesaian menjadi tidak optimal lagi. Bila hal ini terjadi, maka dibutuhkan tambahan iterasi untuk menemukan penyelesaian optimal nilai C_j untuk semua variabel non-dasar yang memenuhi C_j – Z_j £ 0.

Kombinasi Produk	C1	4000 X1	1000 X2	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	4000 1000 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	4000 0	1000 0	2500/7 -2500/7	1000/7 -1000/7	0 0	124300

Untuk melihat proses perhitungan range optimalitas ini  kita misalkan nilai koefisien X₁ (keuntungan per unit sepatu wanita) sebesar c₁ (bukan 4000), sehingga kita dapatkan tabel simpleks akhir sebagai berikut :

Kombinasi Produk	Cj	c1 X1	1000 X2	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	4000 1000 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	c1 0	1000 0	1/7c1 – 3000/14 -1/7c1 + 3000/14	-1/7c1 + 10000/14 1/7c1 + 10000/14	0 0	180/7c1 + 150000/7

Dari tabel kita mendapatkan

-1/7 c₁ + 3000/14 £ 0

(-2c₁ + 3000)/14  £ 0

       2c₁ ³ 3000

         c₁ ³ 1500

dan 1/7 c₁ – 10000/14 £ 0

    (2c₁ – 10000) / 14 £ 0

                 2c₁ – 10000 £ 0

                               2c₁ £ 10000

      c₁ £ 5000

Range optimalitas yang kita peroleh adalah 1500 £ c₁ £ 5000. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dengan menggunakan metode grafik.

Berdasarkan nilai range optimalitas c₁ ini, manajer dapat menggunakannya untuk memperoleh informasi apakah penyelesaian masih optimal atau tidak. Misal, karena naiknya harga bahan mentah, menyebabkan keuntungan per unit sepatu sepatu wanita turun menjadi Rp. 2000 (masih di dalam range optimalitas). Hasil iterasi terakhir untuk perubahan ini, seperti yang terlihat pada tabel di bawah, masih optimal (semua nilai pada baris C_j – Z_j £ 0). Sedang keuntungan total yang diperoleh menjadi Rp.2.000 (25,7) + Rp.1.000 (21,5) = Rp. 72.900

Kombinasi Produk	Cj	2000 X1	1000 X2	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	2000 1000 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	2000 0	1000 0	1000/14 -1000/14	6000/14 -6000/14	0 0	72900

Misalkan sekarang keuntungan sepatu wanita ini turun lagi menjadi Rp. 1000 ( di luar range optimalitas). Hasil iterasi tidak lagi optimal karena nilai kolom S1 pada baris C_j – Z_j positif. Berarti masih diperlukan iterasi lagi hinga dicapai penyelesaian optimal yang baru. Dengan kata lain, penyelesaian sebesar 26,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak tidak lagi merupakan produksi yang optimal pada keadaan di mana keuantungan per unit sepatu wanita sebesar Rp. 1000,-

Kombinasi Produk	Cj	1000 X1	1000 X2	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	1000 1000 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	1000 0	1000 0	-1000/14 1000/14	8000/14 -6000/14	0 0	47200

Range optimalitas keuntungan per unit sepatu anak (c₂) dapat kita tentukan dengan cara yang sama seperti yang kita lakukan terhadap c₁, yaitu dengan cara mengubah koefisien X₂, dengan c₂ pada tabel simpleks akhir. Sebagai akibatnya

-4000/7 + 3/14 c₂ £ 0

(3c_{2 –} 8000) / 14 £ 0

           c₂ £ 8000/3

           c₂ £ 2666,67

dan  4000/7 – 10/14 c₂   £ 0

       (8000/7 – 10c₂ )/14 £ 0

                   c₂  ³ 800

atau 800 £ c₂ £  2666,67

Artinya selama keuntungan per unit sepatu anak berada di dalam range tersebut, produksi sebesar 25,7 unit sepatu wanita dan 21,5 unit sepatu anak akan merupakan penyelesaian optimal.

Kombinasi Produk	Cj X1	4000 X2	c2 S	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	4000 c2 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	4000 0	c2 0	4000/7-3/14c2 -4000/7+3/14c2	-4000/7+10/14c2 4000/7-10/14c2	0 0	720000/7+150/7c2

Ruas Kanan Fungsi Kendala

Nilai sisi kanan fungsi kendala pada programisasi linear biasanya diinterpretasikan sebagai kapasitas yang tersedia (dalam digunakan). Analisis sensitivitas sisi kanan fungsi kendala dapat memberi informasi kepada manajer tentang seberapa besar perubahan kapasitas tersebut bernilai bagi perusahaan. Kita tahu bahwa perubahan nilai fungsi tujuan akibat kenaikan  1 unit nilai sisi kanan fungsi kendala disebut harga bayangan. Dalam metode simpleks nilai harga bayangan dapat diperoleh dari nilai Z_j variabel slack dan variabel surplus pada tabel simpleks terakhir. Kembali kita akan menggunakan tabel simpleks kasus perusahaan UD. Shuma untuk menjelaskan hal ini.

Kombinasi Produk	Cj	2000 X1	1000 X2	0 S1	0 S2	0 S3	Kuantitas
X1 X2 S3	4000 1000 0	1 0 0	0 1 0	1/7 -3/14 38/70	-1/7 10/14 -8/7	0 0 1	180/7 150/7 407
	Zj Cj - Zj	4000 0	1000 0	2500/7 -2500/7	1000/7 -1000/7	0 0	124300

Tabel simpleks di atas menunjukkan nilai Z_j untuk variabel slack S₁, S₂ dan S₃, masing-masing sebesar 2500/7, 1000/7, dan 0. Jadi harga bayangan untuk waktu pengukuran dan pemotongan pola adalah Rp. 2500/7, untuk waktu pengeleman dan pengeringan Rp. 1000/7, dan untuk pengeslepan sebesar Rp. 0.

Informasi yang bisa kia turunkan dari hasil ini adalah penambahan tiap menit waktu akan menambah keuntungan sebesar harga bayangan pada masing-masing unit produksi. Berarti pula, penambahan waktu yang memberi kontribusi terbesar pada keuntungan terjadi pada unit produksi pengukuran dan pemotongan pola, yaitu sebesar Rp. 2500/7 per menit.

2.4     Dualitas

Dual mempunyai interpretasi penting yang dapat membantu manajer mencari jawab atas pertanyaan yang menyangkut alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relatif masing-masing kegiatan. Kemampuan untuk dan menginterprestasikan kasus dual memberikan pemahaman yang mendalam terhadap kasus, sehingga dapat menjadi alat yang membantu untuk analisis dan komunikasi.

Penyelesaian kasus programisasi linear berikut formulasi yang dihasilkan, seperti yang kita bahas pada Bab  sebelumnya, disebut primal. Setiap kasus maksimisasi programasi linear (primal) selalu mempunyai dual yang terkait. Artinya, ketika kita memecahkan suatu kasus, penyelesaian itu juga akan memberi penyelesaian bagi kasus lain. Dengan menggunakan penyelesaian dual dimungkinkan untuk memformulasikan suatu kasus dalam konteks yang berbeda dan mendapatkan hasil yang sama.

Kalau primal berkaitan dengan memaksimumkan kontribusi dari kombinasi produk yang dihasilkan, maka dual berkaitan dengan evaluasi waktu yang digunakan dalam unit-unit produksi untuk menghasilkan produk-produk dimaksud. Dalam metode simpleks, dual disebut juga sebagai penyelesaian persamaan menurut kolom.

Formulasi kasus dual dapat diturunkan dari kasus primal sebagai berikut :

1.        Dual merupakan kasus minimisasi dan karenanya mempunyai kendala ³.

2.        Bila primal mempunyai n variabel keputusan, maka dual akan mempunyai n kendala. Kendala pertama dual berkaitan dengan variabel keputusan pertama (X₁) dalam primal, sedang kendala kedua dalam dual berkaitan dengan X₂ dalam primal, dan seterusnya.

3.        Bila primal mempunyai m kendala, dual akan mempunyai m variabel keputusan. Variabel keptusan pertama dual (u₁) berkaitan denagn kendala pertama dari primal. Variabel keputusan kedua dual (u₂) berkaitan dengan kendala kedua dari primal, dan seterusnya.

4.        Nilai-nilai sisi kanan fungsi kendala primal menjadi nilai-nilai koefisien fungsi tujuan dual.

5.        Koefisien fungsi tujuan primal menjadi nilai ruas kanan fungsi kendala dalam dual.

6.        Koefisien-koefisien fungsi kendala ke-i variabel primal menjadi koefisien-koefisien dalam kendala ke -i dari dual.

7.        Dual seperti halnya primal, mempunyai syarat non negativity.

Berdasarkan persyaratan umum tentang dual di atas, kita bisa menurunkan formulasi dual untuk kasus perusahaan UD. Shuma.

Primal     :

Memaksimumkan 4000X₁ + 1000X₂

Kendala  :           10X₁ + 2X₃ £ 300

 3X₁ + 2X₂ £ 120

 2X₁ + 2X₂ £ 100

 X₁ , X₂ ³ 0

Dual       :

Meminimumkan Y = 300u₁ + 120u₂ + 100u₃

Kendala  :           10u₁ + 3u₂ + 2u₃ ³ 4000

 2u₁ + 2u₂  + 2u₃  ³ 1000

 u₁, u_2,  u₃  ³ 0

Sekarang kita mencoba menyelesaikan kasus dual ini dengan metode simpleks. Mula-mula kita ubah dulu menjadi kasus maksimisasi dengan cara mengalikan fungsi tujuan dengan -1, kemudian memasukkan variabel surplus dan variabel artificial untuk mengubah formulasi menjadi bentuk yang dapat dituliskan ke dalam tabel.

Memaksimumkan   -Y = -300u₁ – 120u₂ – 100u₃ + 0S₁ + 0S₂ – Ma₁ – Ma₂

kendala                    10u₁ + 3u₂ + 2u₃ – S₁ + a₁ = 4000

       2u₁ + 2u₂ + 2u₃ – S₂ + a₂ = 1000

         u₁, u₂, u₃,  S₁, S₂, a_1, a₂ ³ 0

Tabel simpleks yang diturunkan dari formulasi tersebut adalah :

Kombinasi Produk	Cj	-300 u1	-120 u2	-1000 u3	0 S1	0 S2	-M a1	-M a2	Kuantitas
a1 a3	-M -M	10 2	3 2	2 2	-1 0	0 -1	1 0	0 1	4000 1000
	Zj Cj - Zj	-12 M -300+12M	-5M -120+5M	-4M -100+4M	M -M	M -M	-M 0	-M 0	-5000 M

Hasil iterasi pertama :

Kombinasi Produk	Cj	-300 u1	-120 u2	-100 u3	0 S1	0 S2	-M a1	-M a2	Kuan- titas
a1 a3	-M -300	0 1	-7 1	-8 1	-1 0	5 -1/2	1 0	-5 ½	-1000 500
	Zj Cj - Zj	-300 0	-300+7M -420-7M	-300+8M -400-8M	M -M	150+5M -150 + 5M	-M 0	150 + 5 M -150 + 5 M	-150000 + 1000 M

Hasil iterasi kedua :

Kombinasi Produk	Cj	-300 u1	-120 u2	-100 u3	0 S1	0 S2	-M a1	-M a2	Kuan- titas
u1 u3	-120 -300	0 1	1 0	8/7 -1/7	1/7 -1/7	-5/7 3/14	-1/7 1/7	5/7 -3/14	-1000 500
	Zj Cj - Zj	-300 0	-120 0	-600/7 -40/7	180/7 -180/7	150/7 -150/7	-180/7 180/7-M	-150/7-M 150/7-M	124300

Penyelesaian di atas sudah mencapai optimal karena semua nilai pada baris Cj – Zj £ 0. Nilai fungsi tujuan yang kita peroleh bertanda negatif, maka penyelesaian dual fungsi tujuan haruslah -(-124300) atau 124300. Hasil ini sama dengan yang kita peroleh dari penyelesaian optimal primal. Hal ini berlaku untuk semua kasus dual, yaitu bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai penyelesaian optimal dan sebaliknya. Nilai fungsi tujuan optimal dari keduanya akan sama.

Kalau kita perhatikan nilai penyelesaian optimal kasus dual adalah u₁ = 357,14, u₂ = 142,86, u₃ =0. Ternyata bahwa nilai-nilai tersebut sama dengan harga bayangan. Dengan demikian dapat kita simpulkan bahwa nilai harga bayangan dan nilai dual adalah satu dan sama. Berarti nilai optimal variabel dual menyatakan juga nilai tambahan per unit waktu (sumber daya) atau mengidentifikasi kontribusi ekonomi sumber daya dalam kasus primal.

BAB III

PENUTUP

3.1     Kesimpulan

Analisis sensitivitas (analisis pasca optimalitas) merupakan studi tentang perubahan penyelesaian optinmal dan nilai penyelesaian optimal programisasi linear sebagai akibat dari perubahan koefisien suatu variabel keputusan. Adapun penggunaan analisis ini adalah untuk mendinamisasikan penyelesaian dengan programisasi linear yang bersifat statis menjadi mampu mengakomodasi perubahan-perubahan yang terjadi dalam dunia nyata. Dalam hal ini perkiraan penyelesaian optimal dapat dinyatakan dalam suatu range yang disebut range optimalitas. Analisis sensitivitas dapat juga digunakan untuk melihat perubahan pada nilai penyelesaian optimal akibat dari perubahan nilai pada sisi kanan fungsi kendala.

Dualitas menunjuk pada kasus di mana penyelesaian suatu kasus maksimisasi programisasi linear (primal) juga merupakan penyelesaian bagi kasus lain. Hal ini dapat dimanfaatkan untuk mencari alternatif-alternatif kegiatan dan nilai relatif masing-masing kegiatan. Untuk semua kasus dul berlaku ; bila primal mempunyai penyelesaian optimal, maka dual juga mempunyai penyelesaian optimal dan sebaliknya, serta nilai fungsi tujuan optimal dari keduanya akan sama.